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高考数学概念方法题型易误点技巧
发表时间:2008-4-14 15:14:16  编辑:数学教研组
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高考数学概念方法题型易误点技巧总结

圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义

(1) 第一定义 中要 重视“括号”内的限制条件 椭圆中 ,与两个定点F ,F 的距离的和等于常数 ,且此 常数 一定要大于 ,当常数等于 时,轨迹是线段F F ,当常数小于 时,无轨迹; 双曲线中 ,与两定点F ,F 的距离的差的绝对值等于常数 ,且此常数 一定要小于 | F F | 定义中的 “绝对值”与 <|F F |不可忽视 。若 =| F F |,则轨迹是以 F ,F 为端点的两条射线,若 | F F |,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如(1) 已知定点 ,在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A.  B  C         D (答:C); (2) 方程 表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)

(2) 第二定义 中要 注意定点和定直线是相应的焦点和准线 ,且 点点距为分子、点线距为分母 ”,其商即是离心率 。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于 运用第二定义对它们进行相互转化 已知点 及抛物线 上一动点P( x ,y , y+|PQ| 的最小值是_____(答:2)

2.圆锥曲线的标准方程 标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程)

(1) 椭圆 焦点在 轴上时 (参数方程,其中 为参数),焦点在 轴上时 =1( )。方程 表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。 如(1) 已知方程 表示椭圆,则 的取值范围为____(答:); (2) ,且 ,则 的最大值是____, 的最小值是___(答:

(2) 双曲线 焦点在 轴上:  =1 ,焦点在 轴上: =1( )。 方程 表示双曲线的充要条件是什么? ABC≠0,且A,B异号 )。 如(1) 双曲线的离心率等于 ,且与椭圆 有公共焦点,则该双曲线的方程_______(答: ); (2) 设中心在坐标原点 ,焦点 在坐标轴上,离心率 的双曲线C过点 ,则 C的方程为 _______(答:

(3) 抛物线 :开口向右时 ,开口向左时 ,开口向上时 ,开口向下时

3.圆锥曲线焦点位置的判断 (首先化成标准方程,然后再判断)

(1) 椭圆 :由 , 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是 _ _(答: 

(2) 双曲线 , 项系数的正负决定, 焦点在系数为正的坐标轴上;

(3) 抛物线 焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。

特别提醒 (1) 在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F ,F 的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数 ,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中, 最大, ,在双曲线中, 最大,

4.圆锥曲线的几何性质

(1) 椭圆 (以 )为例): 范围: 焦点: 两个焦点 对称性: 两条对称轴 ,一个对称中心(0,0), 四个顶点 ,其中长轴长为2 ,短轴长为2 准线: 两条准线 ;  离心率: ,椭圆 越小,椭圆越圆; 越大,椭圆越扁。 如(1) 若椭圆 的离心率 ,则 的值是 __ (答: 3 ); (2) 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为 __ (答:

(2) 双曲线 (以 )为例): 范围: 焦点: 两个焦点 对称性: 两条对称轴 ,一个对称中心(0,0), 两个顶点 ,其中实轴长为2 ,虚轴长为2 特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为 准线: 两条准线 ;  离心率: 双曲线 等轴双曲线 越小,开口越小, 越大,开口越大; 两条渐近线: 如(1) 双曲线的渐近线方程是 ,则该双曲线的离心率等于______(答: ); (2) 双曲线 的离心率为 ,则 =       (答: 4 ); (3) 设双曲线 (a>0,b>0)中,离心率e ∈[ ,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是 ________ (答: ); 

(3) 抛物线 (以 为例): 范围: 焦点: 一个焦点 ,其中 的几何意义是:焦点到准线的距离; 对称性: 一条对称轴 ,没有对称中心,只有 一个顶点(0,0) 准线: 一条准线 ;  离心率: ,抛物线 ,则抛物线 的焦点坐标为 ________ (答: );

5、点 和椭圆 )的关系 :(1)点 在椭圆外 ;(2)点 在椭圆上 =1;(3)点 在椭圆内

6. 直线与圆锥曲线的位置关系

(1)相交: 直线与椭圆相交;   直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有 ,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件; 直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有 ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故 也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。 如(1) 若直线y=kx+2与双曲线x 2 -y 2 =6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是 _______(答: (- ,-1) ); (2) 直线y―kx―1=0与椭圆 恒有公共点,则m的取值范围是_______(答:[1,5)∪(5,+∞)); (3) 过双曲线 的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若 │AB︱=4,则这样的直线有_____条 (答: 3 );

(2)相切: 直线与椭圆相切; 直线与双曲线相切; 直线与抛物线相切;

(3)相离: 直线与椭圆相离; 直线与双曲线相离; 直线与抛物线相离。

特别提醒 (1) 直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时 ,直线与双曲线 相交 , 只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线 相交 , 只有一个交点 (2) 双曲线 =1外一点 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下: P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条; P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条; P 在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线; P为原点时不存在这样的直线; (3) 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。 如(1) 过点 作直线与抛物线 只有一个公共点,这样的直线有______(答:2); (2) 过点(0,2)与双曲线 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______(答: ); (3) 过双曲线 的右焦点作直线 交双曲线于A、B两点,若 4,则满足条件的直线 有____条(答:3); (4) 对于抛物线C: ,我们称满足 的点 在抛物线的内部,若点 在抛物线的内部,则直线 与抛物线C的位置关系是_______(答:相离); (5) 过抛物线 的焦点 作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是 ,则 _______(答:1); (6) 设双曲线 的右焦点为 ,右准线为 ,设某直线 交其左支、右支和右准线分别于 ,则 的大小关系为___________(填大于、小于或等于) (答:等于); (7) 求椭圆 上的点到直线 的最短距离(答: ); (8) 直线 与双曲线 交于 两点。 为何值时, 分别在双曲线的两支上? 为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答: );

7、焦半径 (圆锥曲线上的点P到焦点F的距离) 的计算方法 :利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径 ,其中 表示P到与F所对应的准线的距离。 如(1) 已知椭圆 上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为____(答: ); (2) 已知抛物线方程为 ,若抛物线上一点到 轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于____; (3) 若该抛物线上的点 到焦点的距离是4,则点 的坐标为_____(答: ); (4) 点P在椭圆 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标为_______(答: ); (5) 抛物线 上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到 轴的距离为______(答:2); (6) 椭圆 内有一点 ,F为右焦点,在椭圆上有一点M,使  之值最小,则点M的坐标为_______(答: );

8、焦点三角形 (椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形) 问题 :常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点 到两焦点 的距离分别为 ,焦点 的面积为 ,则在椭圆 中,  ,且当 为短轴端点时, 最大为 ,当 为短轴端点 时, 的最大值为 bc 对于双曲线 的焦点三角形有: 如(1) 短轴长为 ,离心率 的椭圆的两焦点为 ,过 作直线交椭圆于A、B两点,则 的周长为________(答:6); (2) 设P是等轴双曲线 右支上一点,F 1 、F 2 是左右焦点,若 ,|PF 1 |=6,则该双曲线的方程为             (答: ;(3) 椭圆 的焦点为F 1 、F 2 ,点P为椭圆上的动点,当 ( PF2 ) · ( PF1 ) <0 时,点P的横坐标的取值范围是   (答: ); (4) 双曲线的虚轴长为4,离心率e= ,F 1 、F 2 是它的左右焦点,若过F 1 的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且 等差中项,则 =__________ (答: ); (5) 已知双曲线的离心率为2, F 1 、F 2 是左右焦点,P为双曲线上一点,且 .求该双曲线的标准方程(答: );

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 :(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦, M为准线与 x 轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A ,B ,若P为A B 的中点,则PA⊥PB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于 x 轴,反之,若过B,点平行于 x 轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。                              

10、弦长公式 :若直线 与圆锥曲线相交于两点A、B,且 分别为A、B的横坐标,则 ,若 分别为A、B的纵坐标,则 ,若弦AB所在直线方程设为 ,则 。特别地, 焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。 如(1) 过抛物线y 2 =4x的焦点作直线交抛物线于A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 )两点,若x 1 +x 2 =6,那么|AB|等于_______(答:8); (2) 过抛物线 焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则 ΔABC重心的横坐标为 _______(答:3);

11、圆锥曲线的中点弦问题: 遇到 中点弦 问题常用 “韦达定理”或“点差法” 求解。在 椭圆 中,以 为中点的弦所在直线的斜率 k= ;在 双曲线 中,以 为中点的弦所在直线的斜率 k= ;在抛物线 中,以 为中点的弦所在直线的斜率 k= 如(1) 如果椭圆 弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是          (答: ); (2) 已知直线y=-x+1与椭圆 相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______(答: ); (3) 试确定m的取值范围,使得椭圆 上有不同的两点关于直线 对称(答: ); 

特别提醒 :因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件, 故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验

12.你了解下列结论吗

(1)双曲线 的渐近线方程为

(2)以 为渐近线(即与双曲线 共渐近线)的双曲线方程为 为参数, ≠0)。 与双曲线 有共同的渐近线,且过点 的双曲线方程为_______(答:

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为

(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 ,焦准距(焦点到相应准线的距离)为 ,抛物线的通径为 ,焦准距为 ; 

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;

(6)若抛物线 的焦点弦为AB, ,则

(7)若OA、OB是过抛物线 顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点

13.动点轨迹方程

(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围;

(2)求轨迹方程的常用方法:

直接法:直接利用条件建立 之间的关系 已知动点P到定点F(1,0)和直线 的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答: );

待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。 线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0) ,端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为           (答: ); 

定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程; 如(1) 由动点P向圆 作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=60 0 ,则动点P的轨迹方程为           (答: ); (2) 点M与点F(4,0)的距离比它到直线 的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______ (答: ); (3)  一动圆与两圆⊙M: 和⊙N: 都外切,则动圆圆心的轨迹为     (答:双曲线的一支);

代入转移法:动点 依赖于另一动点 的变化而变化,并且 又在某已知曲线上,则可先用 的代数式表示 ,再将 代入已知曲线得要求的轨迹方程; 动点P是抛物线 上任一点,定点为 ,点M分 所成的比为2,则M的轨迹方程为__________(答: );

参数法:当动点 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。 如(1) AB是圆O的直径,且|AB|=2 a ,M为圆上一动点,作MN AB,垂足为N,在OM上取点 ,使 ,求点 的轨迹。(答: ); (2) 若点 在圆 上运动,则点 的轨迹方程是____(答: ); (3) 过抛物线 的焦点F作直线 交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的轨迹方程是________(答: );

注意 如果问题中 涉及到平面向量知识 ,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。 已知椭圆 的左、右焦点分别是 F 1 (- c 0 )、 F 2 c 0 ), Q 是椭圆外的动点,满足 P 是线段 F 1 Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F 2 Q 上,并且满足 (1)设 为点 P 的横坐标,证明 ;(2)求点 T 的轨迹 C 的方程;(3)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M ,使△ F 1 MF 2 的面积 S= 若存在,求∠ F 1 MF 2 的正切值;若不存在,请说明理由 .  (答:(1)略;(2) ;(3)当 时不存在;当 时存在,此时∠ F 1 MF 2 =2)

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上 特殊点 对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中, 常借助于 “平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上 出现“三个或三个以上的点 ”,那么 可选择应用“斜率或向量”为桥梁 转化.

14、解析几何 与向量综合时可能出现的向量内容

(1)  给出直线的方向向量

(2) 给出 相交,等于已知 的中点;

(3) 给出 ,等于已知 的中点;

(4) 给出 ,等于已知 的中点三点共线;

(5)  给出以下情形之一: ;②存在实数 ;③若存在实数 ,等于已知 三点共线.

(6)  给出 ,等于已知 的定比分点, 为定比,即

(7)  给出 ,等于已知 , 是直角,给出 ,等于已知 是钝角, 给出 ,等于已知 是锐角,

(8) 给出 ,等于已知 的平分线/

(9) 在平行四边形 中,给出 ,等于已知 是菱形;

(10)  在平行四边形 中,给出 ,等于已知 是矩形;

(11) 中,给出 ,等于已知 的外心( 三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 );

(12)  在 中,给出 ,等于已知 的重心( 三角形的重心是三角形三条中线的交点 );

(13) 中,给出 ,等于已知 的垂心( 三角形的 心是 三角形三条高的交点 );

(14) 中,给出 等于已知 通过 的内心;

(15) 中,给出 等于已知 的内心( 三角形内切圆的圆心,三角形的内心是 三角形三条角平分线的交点 );

(16)   中,给出 ,等于已知 边的中线;



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